faktor persekutuan terbesar

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Sebelum kita bahas tentang faktor (pembagi) persekutuan terbesar, marilah kita lihat beberapa peragaan berikut:Perhatikan dua bilangan a = 6 dan b = 8.Jika A adalah himpunan semua faktor dari a, dan B adalah himpunan semua faktor dari b, serta C adalah himpunan semua faktor persekutuan dari a dan b, maka:

A = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

B = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

C = A∩B = {-2, -1, 1, 2}

Unsur (anggota, elemen) dari C yang terbesar adalah 2

2 merupakan faktor persekutuan yang terbesar dari a = 6 dan b = 8

2 juga merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = 6 dan b = 8

Sekarang bagaimana kalau diambil a = -6 dan b = 8

A = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

B = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

C = A∩B = {-2, -1, 1, 2}

Unsur dari C yang terbesar adalah 2.

2 merupakan faktor persekutuan yang terbesar dari a = -6 dan b = 8

2 juga merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = -6 dan b = 8

Dengan jalan yang sama, jika diambil a = -6 dan b = -8, maka juga akan diperolehfaktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah 2.

Jika untuk menyatakan faktor persekutuan terbesar dari a dan b digunakan lambang(a, b), maka dapat ditentukan bahwa:(6, 8) = 2(-6, 8) = 2(-6, -8) = 2

Ternyata, faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat a dan b, apapun tandamasing-masing, selalu diperoleh nilai yang bertanda positif.

Bagaimana keadaan faktor  persekutuan terbesar ini jika a atau b (tidak keduanya) bernilai nol?Ambil a = 0 dan b = 6

A = himpunan semua faktor a = 0= { …, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

B = himpunan semua faktor b = 6= {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

C = A∩B= {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Unsur yang terbesar dari C adalah 6,

berarti (a, b) = (0, 6) = 6

Untuk a = 0 dan b = 0,

perhatikan bahwa:

A = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}

B = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …} 

C = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}

Sehingga tidak mungkin menentukan unsur yang terbesar dari C, atau faktor  persekutuan terbesar dari a = 0 dan b = 0 tidak ada.

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Pengertian Dan Pembahasan

Ditentukan x, y∈Z, x dan y keduanya tidak bersama-sama bernilai 0. p∈Z disebut pembagi (faktor) persekutuan (common divisor, common factor) dari x dan y jika p|x (p membagi x) dan p|y (p membagi y) p∈Z disebut pembagi (faktor) persekutuan terbesar (gcd = greatest commondivisor, gcf = greatest common factor) dari x dan y jika p adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi x (yaitu p|x) dan membagi y (yaitu p|y).

Perlu diperhatikan bahwa d = (a, b) didefinisikan untuk setiap pasang bilangan bulata, b∈Z kecuali a = 0 dan b = 0. Demikian pula, perlu dipahami bahwa (a, b) selalu bernilai bilangan bulat positif, yaitu d∈Z dan d > 0 (atau d≥1).

Contoh:

1.      Himpunan semua faktor 16 adalah:A = {-16, -6, -4, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 8, 16}

Himpunan semua faktor 24 adalah:B = {-24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Himpunan semua faktor persekutuan 16 dan 24 adalah:C = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

Karena unsur C yang terbesar adalah 8, maka (16, 24) = 8

Cobalah cari (-16, 24), (16, -24), (-16, -24), (24, -16), dan (-24, 16).

Himpunan semua faktor 12 adalah {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

Himpunan semua faktor 18 adalah {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Himpunan semua faktor persekutuan 12 dan 18 adalah {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Jadi: (16, 24) = 83

Secara umum pengertian tentang faktor persekutuan dari dua bilangan bulat dituliskan sebagai defenisi berikut ini:

Defenisi  1

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan  bulat maka bilangan bulat disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d|a dan d|b.

Oleh karena 1 adalah pembagi (faktor) dari  setiap bilangan bulat maka 1 adalah faktor persekutuan dari a dan b. Jadi himpunan faktor persekutuan dari  a dan b tidak pernah kosong.

Apabila sekurang- kurangnya satu dari  a dan b tid k samaor persekut dengan nol maka himpunan semua faktor persekutuan bulat positif dari a dan b merupakan himpunan berhingga. Sehingga mesti ada anggota dari himpunan tersebut yang terbesar dan disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b secara formal, hal tersebut dinyatakan sebagai  definisi  berikut.

Definisi  2

Jika a dan b bilangan – bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu diantaranya tidak sama dengan nol maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b ditulis “(a, b) “ adalah suatu bilangan bulat  positif d yang memenuhi

(i)      d|a dan d|b,serta

(ii)    jika e |a dan e|b maka e≤d.

Dari defenisi tersebut dapat dimengerti bahwa jika (a,b)=d,maka d≥1,apabila ada faktor  persekutuan lain misalnya e maka e≥d

Contoh:

Faktor bulat positif dari -12 adalah 1,2,3,4,6,12

Faktor bulat positif dari30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30

Maka FPB yang positif dari -12 dan 30 adalah 1,2,3,6

Jadi faktor persekutuan terbesar dari -12 dn 30 adalah 6,atau dapat ditulis secara singkat sebagai (-12,30)=6

Perhatikan bahwa (30,105)=15 dan (30:15,105:15)=(2,7)=1, apabila (a,b) = d,apakah  (a:d,b:d)=1?

Misalkan (a:d,b:d)=c maka c ≥1 dan c|(a:d) dan c|(b:d).

c|(a:d) maka ada bilangan bulat m sehingga a:d =mc atau a=mcd

c|(b:d) maka ada bilangan bulat n sehingga b:d=nc atau b=ncd

karena a=mcd dan b=ncd maka cd adalah factor persekutuan dari a dan b. karena (a,b) = d maka cd ≤d, yaitu  c ≤ 1,sebab d suatu bilangan bulat positif. Karena c ≥ 1 dan c≤ 1maka c=1

uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut:

Teorema 1

jika (a,b) = d maka (a:d,b:d) = 1

Apabila a dan b dua bilangan bula positif dengan (a,b) = 1 maka dikatakan bahwa a dan b saling prima atau a prima relative terhadap b

Teorema 2

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a ≥ 0 maka aada dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan q dan r yang memenuhi

b = q a + r, dengan 0 ≤r≤a

Bilangan bilangan bulat  q dan r dalam teorema ini berturut turut disebut hasil bagi dan sisa dalam pembagian b oleh a

sebagai ilustrasi,jika a = 21,  dan b = 75 maka q= 3 dan r=12, yaitu:

b = q a + r

75 = 3.21 + 12

Disini tampak bahwa (75,21) = (21,12) = 3

Apakah benar b = q a + r  maka (b,a) = (a,r)?

Misalkan (b,a) = d dan (a,r) = c, maka kita akan membuktikan bahwa c=d

Karena (b,a) = d maka d|b dan d|a,dan kaarena b = a q + r  maka  d|r. dari d|a dan d|r maka d adalah factor persekutuaan dari a dan r

            Selanjutnya karena (a,r) = c maka a|c,dan r|c dan kaarena b = a q + r maka c|b. dari c|a dan c|b maka c adalah factor persekutuan dari a dan b tetapi karena (a,b)=d maka d≥c

Dari d≤c dan d≥c maka c = d,yaitu (b,a) = (a,r)

Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut ini

Teorema 3

            Jika b= a q + r maka (b,a) = ( a, r)

            Dengan menggunakan teorema tersebut memudahkan kita untuk menghitung FPB terbesar dari sebarang bilangan bulat meskipun bilangan bilangan bulat tersebut cukup besar

Contoh :

Carilah (5767,4453)

Penyelesaian :

5767 = 1 . 4453 + 1314 maka (4767,4453)= (4453,1314)

4453 = 3 . 1314 + 511 maka (4453,1314) = (1314,511)

1314 = 2 . 511 + 292 maka (1314,511) = ( 511,292)

511 = 1 . 292 + 73 maka (511,292) = (292,73)

292 = 4 . 73 + 0 maka (292,73) = (73,0) = 73

Jadi (5767,4453) = 73

Teorema 4

            Apabila a dan b bilangan bilangan bulat tidak nol maka ada bilangan x dan y sedemikian hingga

Ax + by = (a,b)

Sesuai dengan teorema ini apabila (a,b) = 1 maka ada bilangan bulat x dan y hingga ax + by = 1

Teorema 5

 Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol maka a dan b saling prima jika dan hanya jika ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1

Contoh :

Hitunglah (247,299) dan tentukan bilangan bilangan bulat m dan n yang memenuhi 247m + 299n = (247,299)

Jawab : 299 = 1 . 247 + 52

247 = 4 . 52 + 39

52 = 1. 39 + 13

39 = 3.13

Jadi (247,299) = 13

13 = 52-(247 – 52 . 4)

     = 52 . 5 -247

     = (299 -247 )5 -247

    = 299.5 + 247 (-6)

Jadi m dan n adalah 5 dan -6misalkan a|c dan b|c dapatkah kita menyimpulkan bahwa ab|c.

Diambil dari contoh sebagai berikut:

8|24 dan 6|24 maka tidak benar bahwa 8.6|24,tetapi apabila diberi tambahan ketentuan bahwa (a,b) = 1 maka kita dapat menyimpulkan bahwa ab | c

Hal itu ditunjukkan sebagai berikut

Karena (a,b)= 1 menurut teorema 5 tersebut maka ada bilangan bilangan bulat x dan y sedemikian hingga

Ax+by = 1

Jika kedua ruas dikalikan c maka diperoleh persamaan

Acx + bcy = c ………(1)

Karena a|c dan b|c maka ada bilangan bilangan bulat r dan t sedemikian hingga c = ar dan c = bt, sehingga persamaan (1) menjadi 

Abtx +abry = c

Ab(tx + ry) = c

Ini beraarti ab|c

Apabila diketahui bahwa a|bc,apakah kita dapat menyimpulkan bahwa a|b atau  a|c?

Diambil sebagai contoh :

6|(3.4) maka tidak benar apabila kita menyimpulkan bahwa 6|3 dan 6|4

Tetapi apabila a|bc ditambah ketentuan (a,b)=1 maka kita dapat menyimpulkan bahwa a|c

Hal itu ditunjukkan sebagai berikut:

            Karena (a,b) = 1 maka ada bilanan bilangan bulat x dan y sedemikian hingga :

Ax+by =1

Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan dengan c maka diperoleh :

Acx+bcy=c

Karena a|bc dan a|ac maka a|(acx+bcy) atau a|c

Uraian yang tampak sederhana ini tetapi pernyataan itu merupakan hal yang mendasar (fundamental) dan bias disebut dengan “lemma Euclid”

Teorema lemma Euclid:

 Jika a|bc dan (a,b) = 1 maka a|c

BAB III

PENUTUP

A.     Kesimpulan

Secara umum pengertian tentang faktor persekutuan dari dua bilangan bulat dituliskan sebagai defenisi berikut ini:

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan  bulat maka bilangan bulat disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d|a dan d|b.

Jika a dan b bilangan – bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu diantaranya tidak sama dengan nol maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b ditulis “(a, b) “ adalah suatu bilangan bulat  positif d yang memenuhi.